名师档案 高中福

济宁市第十五中学数学教师，中学高级教师，曾获“济宁市教学能手”“任城区教学工作先进个人”等荣誉称号，获评“济宁市优质课执教者”“济宁市基本功比赛一等奖”等奖项。参与《基于观察与诊断下的构建高效课堂策略的研究》等省级课题三项，均圆满结题。

二次函数是每年中考必考的压轴题。近两年来，命题趋势逐渐向代数推理倾斜，更加注重对函数表达式变形、参数范围分析、常数存在性探究等代数运算能力的考查，这类题型更能体现数学的逻辑严谨性和抽象思维能力。

【典例精讲】（2025年山东中考题）

已知二次函数y＝x（x-a）+（x-a）（x-b）+x（x-b），其中a，b为两个不相等的实数。

（1）当a＝0，b＝3时，求此函数图象的对称轴；

（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；

（3）若点A（a，y1），B（a+b，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

该题通过“对称轴求解——增减性求参数范围——定点与常数存在性”的梯度设问，完整呈现了中考二次函数压轴题的考查逻辑。第一问“当a＝0，b＝3时，求此函数图象的对称轴”，属于基础概念应用题，核心考查二次函数对称轴的求解方法；第二问“当b＝2a时，根据函数在特定区间的增减性求a的取值范围”，需要结合函数性质进行逻辑推理，属于中档难度的综合题；第三问“判断是否存在常数m使得y1+my2+y3＝0”，则是对代数运算和逻辑探究能力的深度考查，属于压轴题中的难点。这三个问题由浅入深、层层递进，既覆盖了二次函数的核心知识点，又实现了对不同能力层次学生的区分，完美契合中考“重基础、强应用、考能力”的命题理念。

解题步骤如下：

（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x-a）+（x-a）（x-b）+x（x-b）可化为：y＝x（x-0）+（x-0）（x-3）+x（x-3）＝3x2-6x

｀此函数图象的对称轴为直线

x=- b =- -6 =1

（2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x-a）+（x-a）（x-b）+x（x-b）可化为：y＝x（x-a）+（x-a）（x-2a）+x（x-2a）＝3x2-6ax+2a2

｀抛物线对称轴为直线

x=- b =- -6a =a

∵3＞0

｀抛物线开口方向向上

∵当0≤x≤1时，y随x的增大而减小

｀a≥1

∵当3≤x≤4时，y随x的增大而增大

｀a≤3

｀1≤a≤3

（3）存在.

∵点A（a，y1），B（a+b，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上

｀y1＝a（a-a）+（a-a）（a-b）+a（a-b）＝a2-ab

y＝x（x-a）+（x-a）（x-b）+x（x-b）＝3x2-2（a+b）x+ab

｀y2=3(a+b)2-2(a+b)(a+b)+ab

=3×(a+b)-(a+b)2+ab

=-(a+b)+ab

=-1(a2-2ab+b2)

=-1(a-b)2

y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)

=b2-ab

∵y1+my2+y3＝0

｀a2-ab+m[-1(a-b)2]+b2-ab=0

整理得：(a-b)2（1-1m）=0

∵a，b为两个不相等的实数

｀a-b≠0

｀1-1m=0，解得：m＝4

解题技巧：

解决二次函数压轴题的核心思路可概括为“化简解析式→用函数性质→代点计算（消参求解）”，这一思路贯穿于所有题型的解答过程，是应对这类问题的“万能钥匙”。

除了上述核心解题思路，还要掌握以下三大解题技巧。

1.代数变形是基础：主要包括整式展开、因式分解、完全平方公式的运用。这些代数运算技巧是连接函数表达式与图象性质的纽带。

2.数形结合是核心：通过画出大致图象，能直观地反映出函数的变化趋势，帮助学生快速找到解题的突破口。结合二次函数图象的开口方向、对称轴，分析增减性、最值等性质。降低了思维难度，提高了解题效率。

3.条件挖掘是关键：题设中的每一个条件都有其存在的意义，无论是参数的限制条件（如a、b为不相等的实数），还是函数的定点坐标，都可能成为化简等式、求解参数的重要依据。例如在存在性问题中，参数的限制条件往往是消去无关参数、得出常数的关键。只有充分挖掘题设条件，才能确保解题过程的严谨性和正确性。关注题设中的限制条件，作为等式化简的依据。

在数学学习中，知识链通常是“从数到代数式，再到方程、不等式，最后到函数”，是从具体到抽象、从静态到动态的过程，代数式是函数的基础，函数本质上由代数式表示，二者密不可分。